Stammfunktion mit Formansatz | e-Funktion | (2024)

Die Bestimmung von Stammfunktionen ist ein wichtiger Bestandteil der Analysis. Sie ermöglicht es uns, die Fläche unter einer Funktion zu berechnen und somit beispielsweise das Volumen von Rotationskörpern zu bestimmen. Eine Möglichkeit, eine Stammfunktion zu finden, ist der Formansatz in Verbindung mit dem Koeffizientenvergleich. In diesem Artikel werden wir uns die Schritte dieser Methode genauer ansehen und ich zeige dir anhand einiger Beispiele wie du mithilfe dieser Methode die Stammfunktion von diversen Funktionen finden kannst.

https://youtu.be/Uyr_vlreK30

Wir wollen die Stammfunktion von \(f(x) = x^2e^x\) bestimmen.

Schritt 1: Formansatz aufstellen
Wir nehmen an, dass die Stammfunktion \(F(x)\) die Form \(F(x) = (ax^2 + bx + c)\cdot e^x\) haben muss, wobei \(a\), \(b\) und \(c\) Konstanten sind, die wir bestimmen müssen. Du erkennst diesen Formansatz daran, dass der Faktor, der nicht die e-Funktion ist \(f(x)=\color{red}{x^2}\cdot e^x\), eine quadratische Funktion ist. Du brauchst also nun eine allgemeine Darstellung aller quadratischen Funktionen und diese lautet \(ax^2+bx+c\).

Schritt 2: Ableitung der Formansatz-Funktion bilden
Wir leiten die Formansatz-Funktion mithilfe der Produktregel ab, denn es gilt \(F'(x)=f(x)\). Mithilfe dieser Erkenntnis können wir nämlich anschließend durch den Koeffizientenvergleich die Werte für a, b und c bestimmen!

Wir haben \( F(x) = (ax^2 + bx + c)\cdot e^x\).
Dann ist \( u(x) = ax^2 + bx + c \) und \( v(x) = e^x\). Beide Ausdrücke leiten wir nun ab und erhalten: \(u'(x) = 2ax + b\) und \(v'(x) = e^x\).

Jetzt können wir die Produktregel \(F'(x) = u'(x) \cdot v(x) + u(x) \cdot v'(x)\) anwenden:
\begin{align}
F'(x) &= (2ax + b) \cdot e^x + (ax^2 + bx + c)\cdot e^x\\
&= e^x(2ax + b + ax^2 + bx + c)\\
&= e^x(ax^2 + 2ax+ bx +b+ c)\\
&= e^x(ax^2 + (2a+b)x + (b+c)) \end{align}

Schritt 3: Koeffizientenvergleich durchführen
Wir vergleichen die Koeffizienten der Ableitung des Formansatzes mit der ursprünglichen Funktion \(f(x)\):
\(F'(x)= e^x( ax^2 + (2a+b)x + (b+c))\)
\(f(x) = x^2\cdot e^x\) Jetzt müssen wir \(f(x)\) umformen, um den Koeffizientenvergleich durchführen zu können.
\(f(x) = x^2\cdot e^x\)
\(f(x)=e^x \cdot x^2\)
\(f(x)=e^x \cdot (1 \cdot x^2 + 0 \cdot x+0)\)

Wir haben nun also folgendes erhalten:
\(f(x)=e^x \cdot (\color{red}{1} \cdot x^2 + \color{green}{0} \cdot x+\color{blue}{0})\)
\(F'(x)= e^x(\color{red}{a} \cdot x^2 + \color{green}{(2a+b)} \cdot x + \color{blue}{(b+c)})\) und vergleichen die Koeffizienten (Zahlen vor \(x^2\), x und die reine Zahl am Ende) und setze sie gleich:

1. Gleichung (vor \(x^2\)): \(\color{red}{1=a}\)
2. Gleichung (vor \(x\)): \(\color{green}{0=2a+b}\)
3. Gleichung (Zahl bzw. Ausdruck am Ende): \(\color{blue}{0=b+c}\)
\begin{alignat*}{4}
&I. &\quad 1 & =a \\
&II. &\quad 0 & = 2a+b\\
&III.&\quad 0 &= b+c \\ \end{alignat*}

4. Schritt: Gleichungssystem lösen
\begin{alignat*}{4}
&I. &\quad 1 & = a \\
&II. &\quad 0 & = 2a+b\\
&III.&\quad 0 & = b+c \\ \end{alignat*}

Aus der ersten Gleichung können wir direkt \(a=1\) ablesen. Setzen wir das in die zweite Gleichung ein, ergibt sich:

\begin{align*}
0 &= 2a + b \\
0 &= 2 \cdot 1 + b\\
0 &= 2 + b \quad \vert -2\\
-2 &=b\\
b &= -2 \end{align*}

Und schließlich können wir \(b\) in der dritten Gleichung einsetzen:

\begin{align*}
0 &= b + c \\
0 &= -2 + c \quad \vert +2\\
2 &=c\\
c &= 2 \end{align*}

Damit haben wir das LGS gelöst und erhalten \(a=1\), \(b=-2\) und \(c=2\).

Schritt 5: Stammfunktion bestimmen
Wir setzen die gefundenen Konstanten \(a\), \(b\) und \(c\) in den Formansatz ein und erhalten die Stammfunktion:
\(F(x) = (ax^2 + bx + c)\cdot e^x\)
\(F(x) = (1x^2 -2x + 2)\cdot e^x\)

Der Formansatz ist also eine Methode zur Bestimmung von Stammfunktionen, die sich auf bestimmte Funktionen anwenden lässt. In der Schule wird sie häufig bei Funktionen verwendet, die aus einer Multiplikation zwischen zwei Teilfunktionen besteht, wobei eine dieser Teilfunktion eine ganzrationale Funktion ist. Die Schritte sind wie folgt:

1. Identifiziere die Funktion f(x), für die du den Formansatz verwenden solltest.
2. Bestimme den Formansatz F(x), der zu der Funktion f(x) passt. Dies ist in der Regel eine allgemeine ganzrationale Funktion. Für eine lineare Funktion wählst du zum Beispiel \(a \cdot b+c\), für eine quadratische Funktion \(a\cdot x^2 +b\cdot x +c\) usw. Die zweite Teilfunktion (oft eine e-Funktion), behältst du wie bei der Ausgangsfunktion gegeben bei.
3. Leite diesen Ansatz ab und vergleiche F'(x) mit der Funktion f(x). Stelle sicher, dass der Ansatz alle Terme der Funktion f(x) und umgekehrt enthält, ergänze die Ausgangsfunktion ansonsten z.B. mit \(ox\) falls bei dieser Funktion das \(x\) fehlt und bei dem Formansatz vorhanden ist. Hieraus resultiert ein Gleichungsystem.
4. Bestimme die fehlenden Konstanten im Ansatz, die die Gleichungen erfüllen. Löse also das gebildete LGS.
5. Setze nun die berechneten Werte in den Formansatz F(x) ein! Das Ergebnis ist die gesuchte Stammfunktion.

Beispiel 1:

Gesucht ist die Stammfunktion von \(f(x)=(3x-1)\cdot e^x\).
Schritt 1: Formansatz aufstellen
Wir nehmen an, dass die Stammfunktion \(F(x)\) die Form \(F(x)=(a\cdot x +b)\cdot e^x\) haben muss, wobei a und b Konstanten sind, die wir bestimmen müssen. Du erkennst diesen Formansatz daran, dass der Faktor, der nicht der e-Funktion entspricht, eine lineare Funktion ist. Du brauchst also nun eine allgemeine Darstellung aller linearen Funktionen und dieser lautet \(a \cdot x+b\).

Schritt 2: Ableitung der Formansatz-Funktion bilden
Wir leiten die Formansatz-Funktion mithilfe der Produktregel ab, denn es gilt \(F′(x)=f(x)\). Wir haben \(F(x)=(ax+b)⋅e^x\). Dann ist \(u(x)=ax+b\) und \(v(x)=e^x\). Beide Ausdrücke leiten wir nun ab und erhalten: \(u′(x)=a\) und \(v′(x)=e^x\).

Jetzt können wir die Produktregel \(F′(x)=u′(x)⋅v(x)+u(x)⋅v′(x)\) anwenden:

\begin{align}
F'(x) &= a\cdot e^x + (ax+b)\cdot e^x\\
&= e^x(a+ax+b)\\
&= e^x(ax + a+b) \end{align}

Schritt 3: Koeffizientenvergleich durchführen
Wir vergleichen die Koeffizienten der Ableitung des Formansatzes mit der ursprünglichen Funktion
\(F′(x)=e^x(ax+a+b)\)
\(f(x)=(3x−1)⋅e^x\) Jetzt müssen wir \(f(x)\) umformen, um den Koeffizientenvergleich durchführen zu können.
\(f(x)=(3x−1)⋅e^x\)
\(f(x)=e^x⋅(3x−1)\)

Wir haben nun also folgendes erhalten:
\(f(x)=e^x⋅(3x−1)\)
\(F′(x)=e^x(ax+a+b)\) und vergleichen die Koeffizienten (Zahl vor \(x\) und die reine Zahl am Ende) und setzen sie gleich:

1. Gleichung (vor x): \(3=a\)
2. Gleichung (Zahl bzw. Ausdruck am Ende): \(−1=a+b\)
   \begin{alignat*}{4}
   & I. & \quad 3 & = a \\
   & II. & \quad -1 & = a+b\ \end{alignat*}

Schritt 4: Gleichungssystem lösen
\begin{alignat*}{3}
& I. & \quad 3 & = a \\
& II. & \quad -1 & = a+b\ \end{alignat*}

Aus der ersten Gleichung können wir direkt \(a=3\) ablesen. Setzen wir das in die zweite Gleichung ein, ergibt sich:

\begin{align*}
-1 &= a + b \\
-1 &= 3 + b\quad \vert -3\\
-4 &=b\\
b &= -4 \end{align*}

Damit haben wir das LGS gelöst und erhalten \(a=3\) und \(b=-4\).

Schritt 5: Stammfunktion bestimmen
Wir setzen die gefundenen Konstanten \(a\) und \(b\) in den Formansatz ein und erhalten die Stammfunktion:
\(F(x) = (ax+ b)\cdot e^x\)
\(F(x) = (3x -4)\cdot e^x\)

Beispiel 2:

Die Stammfunktion von \(f(x)=(x^2+4)⋅e^{2x}\) mit dem Formansatz \(F(x)=(ax^2+bx+c)⋅e^{2x}\) wird wie folgt berechnet:

Schritt 1: Formansatz aufstellen
Wir nehmen an, dass die Stammfunktion F(x) die Form \(F(x)=(ax^2+bx+c)⋅e^{2x}\) haben muss, wobei a, b und c Konstanten sind, die wir bestimmen müssen. Der Faktor, der nicht die e-Funktion ist, ist eine quadratische Funktion, weshalb wir einen quadratischen Formansatz wählen.

Schritt 2: Ableitung der Formansatz-Funktion bilden
Wir leiten die Funktion F(x) mithilfe der Produktregel ab, da es sich um das Produkt zweier Funktionen handelt:

Dann ist \(u(x)=ax^2+bx+c\) und \(v(x)=e^{2x}\). Beide Ausdrücke leiten wir nun ab und erhalten: \(u′(x)=2ax+b\) und \(v′(x)=2e^{2x}\)

\begin{align} F'(x) &= u'(x) \cdot v(x) + u(x) \cdot v'(x) \\
&= (2ax + b) \cdot e^{2x} + (ax^2 + bx + c) \cdot 2e^{2x} \\
&= e^{2x}(2ax + b + (ax^2 + bx + c) \cdot 2) \\
&= e^{2x}(2ax + b + 2ax^2 + 2bx + 2c) \\
&= e^{2x}(2ax^2+ 2ax + 2bx +b+ 2c) \\
&= e^{2x}(2ax^2 + (2a+2b)x + (b + 2c)) \\
\end{align}

Schritt 3: Koeffizientenvergleich durchführen
Wir vergleichen die Koeffizienten der Ableitung des Formansatzes mit der ursprünglichen Funktion f(x):

\begin{align*}
F'(x) &= (2ax^2 + (2a+2b)x + (b + 2c)) \cdot e^{2x} \\
f(x) &= (1x^2 +0 \cdot x+ 4) \cdot e^{2x} \end{align*}

Daraus ergeben sich folgende Gleichungen:
\begin{align*}
2a &= 1 \\
2a+2b &= 0 \\
b + 2c &= 4 \end{align*}

Schritt 4: Gleichungssystem lösen
Zuerst nehmen wir die erste Gleichung:
\begin{align*} 2a &= 1 \quad \vert :2 \\
\Rightarrow a &= \frac{1}{2} \end{align*}

Dann setzen wir den Wert von a in die zweite Gleichung ein und lösen nach b auf:

\begin{align*}
&& 2a+2b &= 0 \\
\Leftrightarrow && 2\cdot \frac{1}{2} + 2b &= 0 \\
\Leftrightarrow && 1 + 2b &= 0 \\
\Leftrightarrow && b &= -\frac{1}{2} \end{align*}

Zuletzt setzen wir den Wert von b in die dritte Gleichung ein und lösen nach c auf:

\begin{align*} b + 2c &= 4 \\
\Leftrightarrow -\frac{1}{2} + 2c &= 4 \\
\Leftrightarrow 2c &= \frac{9}{2} \\
\Leftrightarrow c &= \frac{9}{4} \end{align*}

Daher ist die Lösung des LGS:
\begin{align*} a &= \frac{1}{2} \\
b &= -\frac{1}{2} \\
c &= \frac{9}{4} \end{align*}

Schritt 5: Stammfunktion bestimmen
Wir setzen die gefundenen Konstanten in den Formansatz ein und erhalten die Stammfunktion: \(F(x)=(\frac{1}{2}\cdot x^2-\frac{1}{2} x+\frac{9}{4})\cdot e^{2x}\)

1. Fehler bei der Wahl des Formansatzes: Es ist wichtig, den richtigen Formansatz zu wählen, der zur Ableitung der gegebenen Funktion passt. Wenn der falsche Formansatz gewählt wird, führt dies zu einem falschen Ergebnis.

2. Fehler bei der Ableitung: Es können Fehler bei der Ableitung der einzelnen Terme des Formansatzes auftreten, insbesondere bei der Ableitung von Potenzen, trigonometrischen Funktionen und der e-Funktion. Einzelne Ableitungen sollten daher vorab überprüft werden.

3. Fehler bei dem Lösen des Gleichungssystems

4. Fehler bei der Überprüfung des Ergebnisses: Am Ende sollte das Ergebnis überprüft werden, indem man es ableitet, um zu überprüfen, ob es tatsächlich die ursprüngliche Funktion ergibt.

5. Rechenfehler: Rechenfehler können immer passieren, deshalb ist es wichtig, sorgfältig zu arbeiten und das Ergebnis zu überprüfen. Gerade die Bestimmung der Stammfunktion mithilfe des Formansatzes erfordert einige Schritte und manchmal auch komplexere Rechnungen!